VEKTOR

BESARAN VEKTOR

A.    Menggabungkan atau Menjumlahkan Besaran vektor

a.      Secara Grafis

1.      Metode Poligon

Penggabungan vektor secara poligon dilakukan dengan cara menggambar vektor-vektor yang digabungkan tersebut secara berurutan (diteruskan). Kemudian Vektor resultannya (R) digambar dengan menghubungkan titik awal sampai akhir. (seperti pada gambar)

2.      Metode Jajaran genjang

Penggabungan vektor secara jajaran genjang dibuat dengan cara menggambar vektor-vektor yang akan digabungkan dari titik awal yang sama, kemudian buatlah garis sejajar vektor tadi (garis putus-putus) dari kedua ujung vektor yang digabungkan sehingga diperoleh titik potongnya. Terakhir gambarlah Vektor Resultannya dengan menghubungkan titik awal ke titik potong. (seperti pda gambar) 

 

b.      Secara Analitis (Perhitungan)

1.      Jika arahnya sama

Resultan vektor yang arahnya sama dihitung dengan menjumlahkan besar dari kedua vektor yang digabungkan.

                        R  = V₁  +  V₂

2.      Jika arahnya berlawanan

Resultan vektor yang arahnya sama dihitung dengan mengurangkan besar dari kedua vektor yang digabungkan (dihitung selisihnya).

                        R  = V₁  -  V₂

3.      Jika saling mengapit sudut

Resultan dari vektor yang arahnya tidak sama dan tidak berlawanan atau arahnya saling mengapit sudut dihitung dengan menggunakan rumus sbb :

Contoh Soal :

1. Vektor F_a dan F_b berturut-turut 30 N dan 50 N. Berapa resultan kedua vektor tersebut jika :

a.       kedua vektor searah !

b.      kedua vektor berlawanan arah !

c.       kedua vektor saling mengapit sudut 60° !

Diketahui :                  F_a = 30 N

                                    F_b = 50 N

Ditanyakan :    a) R = ................. ? (searah)

                        b) R = ................. ? (berlawanan arah)

                        c) R = ................. ?  α = 60°

a)      R = F_a  +  F_b                                        b) R = F_a  -  F_b

R = 30  +  50                                            R = 30  -  50          

R =  80 N                                                 R = - 20 N

                                    (tanda – menyatakan arah R sama dengan Fb)

 2.        Vektor V = 400 N dengan arah 30°  terhadap arah horizontal.

      Tentukan  komponen vektor diatas pada sumbu X dan sumbu Y !

      Diketahui :      V = 400 N

      Ditanyakan :    V_x = .................. ?

                               V_y = .................  ?

                        V_x  =  V Cos α                                                            V_y  =  V Sin α

                        V_x  =  400 Cos 30°                                          V_y  =  400 Sin 30°

                        V_x  =  400 0,87                                                V_y =  400 0,5

                        V_x  =  348 N                                                    V_y  =  200 N

  

3. Vektor P, Q dan S berturut-turut  200 N, 300 N dan 400 N dan arahnya 30° , 150° dan 210°  . Tentukan resultan dari ketiga vektor !

Diketahui :      P = 200 N

                        Q = 300 N

                        S = 400 N

Ditanyakan :    R = .................... ?

Untuk menghitung Resultan vektor yang lebih dari 2 vektor lebih mudah menggunakan tabel seperti dibawah : 

B.    Menguraikan Besaran Vektor

Perhatikan vektor P pada gambar  dibawah !

Arah vektor P adalah ke kanan atas, vektor ini dapat diuraikan menjadi dua komponen yaitu (Px) ke kanan dan (Py) ke atas seperti pada gambar.

Contoh 1

Sebuah vektor P mempunyai besar 200 satuan  dengan arah membentuk sudut 30 ˚ dengan sumbu X positif. Berapakah besar komponen vektor diatas pada sumbu X dan pada sumbu Y ?

            Diketahui  :     P = 200 satauan

                                    α = 30˚

            Diatanya    :     Px  ..... ?

                                    Py .....  ?

            a.         Px = P Cos α                                       b.         Py = P Sin α

                        Px = 200 Cos 30˚                                            Py = 200 Sin 30˚

                        Px = 200 . 0,5√3                                             Py = 200 . 0,5

                        Px = 100 √3 satuan                                         Py = 100 satuan

Contoh 2

            Komponen dari vektor A pada sumbu X adalah 150 satuan. Bila vektor A mengapit sudut 60˚ dengan sumbu X positif. Berapakah besar komponen vektor A pada sumbu Y dan berapa pula besar vektor A tersebut ?

            Diketahui :      Ax = 150 satuan

                                    α = 60˚

            Ditanya :         Ay ..........  ?

                                    A ............. ?

            a.         A_x        = A Cos α                                            b.         A² = (A_x)² + (A_y)²

                        150      = A Cos 60˚                                                    300²     = 150² + (A_y)²  

                        150      = A . 0,5                                                          90000 = 22500 + (A_y)²

                        A         = 150 / 0,5                                                       (A_y)²    = 90000 - 22500

                        A         = 300 satuan                                                    (A_y)²    = 67500

                                                                                                             A_y       = √67500 satuan

 

C.    Perkalian Besaran Vektor

1.      Dot Produck (Perkalian vektor dengan vektor hasilnya skalar)

      Misalnya F(vektor gaya) dan S (vektor perpindahan), Jika kedua vektor   diatas dikalikan hasilnya akan berupa sebuah sekalar yaitu W (Usaha). Secara Matermatika Dot Produck dapat ditulis :

                                          V₁ . V₂   =   V₁.V₂  Cos α

2.      Kros Produck (perkalian vektor dengan vektor hasilnya vektor)

      Misalnya F (vektor gaya) dan R (vektor posisi), jika keuda vektor tersebut dikalikan hasilnya akan berupa sebuah vektor baru yaitu  τ (Momen Gaya). Secara Matematika perkalian Kros Product dapat ditulis sbb :

                                          V₁  x  V₂   =   V₁.V₂  Sin α

Arah dari hasil perkalian vektor  dengan cara kros product dapat ditentukan dengan aturan putaran skrup, yaitu putaran skrup sama dengan arah putaran vektor melalui sudut terkecil sedangkan arah gerakan skrup menyatakan arah  vektor yang dihasilkan dari perkalian kros product.

3.      Perkalian vektor dengan sebuah bilangan

a . V  =   a V